س١: محل مثلجات يعرض ٣ أ ﺣ ﺠ ﺎ م ﻣ ﺨ ﺘ ﻠ ﻔ ﺔ من الأكواب و ٤ ١ ﻧ ﻜ ﻬ ﺔ. ما عدد الطرق الممكنة لشراء نكهة واحدة من المثلجات؟ س٢: افترض أنه أُلقي ٤ عملات معدنية منتظمة في نفس الوقت الذي أُدير فيه القرصان الدوَّاران. باستخدام مبدأ العد الأساسي، أوجد العدد الكلي للنواتج الممكنة. س٣: مايكل وبيتر وشريف يلعبون لعبةً يكون أحدهم فيها شُرطيًّا، ويكون لاعب آخَر مُجرِمًا. كتب كلٌّ منهم اسمه على قطعةٍ من الورق، ووضعها في وعاء. إذا سُحِبَ اسمان سحبًا عشوائيًّا؛ بحيث يكون الاسم الأول شُرطيًّا والثاني مُجرِمًا، فما عدد السحوبات المختلفة الممكنة؟
لذا، نحتاج إلى طريقة أفضل لحساب عدد الاحتمالات. إذا فكَّرنا فيما نفعله عند تكوين مخطط الشجرة البيانية، فسنلاحظ سريعًا كيف يُمكننا تعميم ذلك للتعامل مع عدد أكبر من الخيارات. في مثال الهاتف، بدأنا بالتفكير في أحد الخيارات، مثل حجم الهاتف. في هذه الحالة، يكون لدينا خياران، ويُمكننا بعد ذلك اختيار لون من الألوان الثلاثة لكلِّ خيار من هذين الخيارين. ومن ثَمَّ، نجد أن العدد الكلي للاحتمالات هو ٢ × ٣. وتُعرَف هذه الطريقة لإيجاد عدد الاحتمالات أو النواتج باسم مبدأ العدِّ الأساسي. تعريف: مبدأ العدِّ الأساسي إذا كان لدينا الحدثان المستقلَّان 𞸀 ، 𞸁 ؛ بحيث يكون عدد النواتج المُمكنة للحدث 𞸀 هو 𞸎 ، وعدد النواتج المُمكنة للحدث 𞸁 هو 𞸑 ، فإن العدد الكلي للنواتج المُمكنة المُختلفة لهذين الحدثين معًا هو حاصل ضرب 𞸎 × 𞸑. في هذا التعريف، استخدمنا مصطلح الأحداث المستقلَّة. ونقصد بهذا أن الناتج المترتِّب على وقوع أحد الحدثين لا يُغيِّر النواتج المُمكنة للحدث الآخَر. على سبيل المثال، إذا اخترنا قطعتَيْ شوكولاتة من علبة بها ٤ قِطَع شوكولاتة، فإن عدد النواتج المُمكنة لا يساوي ٤ × ٤. ويرجع السبب في ذلك إلى أنه عند اختيار قطعة الشوكولاتة الأولى، فإننا نغيِّر النواتج المُمكنة للحدث الثاني؛ فعند أخْذ قطعة شوكولاتة واحدة، نُقلِّل عدد النواتج المُمكنة للاختيار الثاني؛ حيث يتبقَّى ثلاث قِطَع شوكولاتة فقط في العلبة.
مبدأ العد الأساسي للصف الأول متوسط الفصل الدراسي الثاني - YouTube
ما عدد الطُّرق المُمكنة التي يمكن أن تجيب بها دينا عن الأسئلة؟ الحل هناك ٩ أسئلة لكلٍّ منها إجابتان محتملتان؛ هما «نعم» و«لا». ربما تعتقد أن عدد الخيارات يساوي ٩ × ٢. لكن هذا غير صحيح. سيكون الحال كذلك إذا كان لدينا حدثان، أحدهما له ناتجان مُمكنان، والآخَر له ٩ نواتج، بينما نحن لدينا ٩ أحداث مستقلَّة، لكلٍّ منها إجابتان محتملتان. ومن ثَمَّ، باستخدام مبدأ العدِّ الأساسي، نجد أن لدينا إجمالي ٢ ٩ من النواتج المختلفة. وعليه، فإن عدد الطُّرق التي يمكن أن تجيب بها دينا عن جميع الأسئلة هو ٥١٢. في بعض الحالات، يكون لدينا مجموعة من الأحداث لها العدد نفسه من النواتج، وأحداث لها أعداد مختلفة من النواتج. وهذه الحالة سنوضِّحها في المثال الآتي. مثال ٤: تطبيق مبدأ العدِّ الأساسي في مواقف حياتية مُفكِّك شفرات يُحاوِل إيجاد قيمة لعدد مُكوَّن من ثمانية أرقام. يوضِّح الشكل التالي الأرقام التي توصَّل إليها بالفعل. لقد قلَّص اختياراته حتى الرقم الذي يُمثِّله الحرف 𞸢 الذي ينتمي إلى مجموعة الأعداد { ٥ ، ٦ ، ٤}. إذا افترضنا أنه حاليًّا لا يعرف أيَّ شيء عن الأرقام الأخرى، فما عدد الأعداد المتبقية المُمكِن له تجريبها؟ ١ ٧ ٩ ٦ 𞸢 ⋯ ⋯ ⋯ الحل بما أن مُفكِّك الشَّفَرات يعرف أوَّل أربعة أرقام دون أدنى شكٍّ، فعلينا التركيز فقط على آخِر أربعة أرقام.