وبدلاً من ذلك يمكننا أن نجد باستخدام نظرية فيثاغورس أن مقدار الإزاحة المحصلة هو: هذا المثال يبين لنا أن جمع المتجهات يختلف اختلافاً تاماً عن جمع الكميات القياسية. كثيراً ما يكون لإتجاه المتجه المصل نفس أهمية مقداره. وإحدى الطرق لإيجاد الاتجاه هي قياس الزاوية θ في الشكل اعلاه بالمنقلة. وإذا كان الرسم دقيقاً طبقاً لمقياس الرسم المختار سنجد ان 18 o = θ وهكذا يمكننا القول أن الإزاحة المحصلة 32 km في اتجاه شمال الشرق بزاوية 18 o. وقبل الاستطراد في المناقشة يجب ان نتفق على طريقة للرمز للكميات المتجه. لنفرض ان لدينا إزاحة مقدارها 40 m واتجاها إلى الشمال ، واننا اخترنا الرمز D لتمثيل هذه الإزاحة ، فإذا كنا نتعامل مع المقدار فقط سوف نرمز للإزاحة عندئذ بالحرف D العادي ، أي أننا نكتب D = 40 m في هذه الحالة. أما إذا أخذنا اتجاه الإزاحة في الاعتبار بالإضافة إلى مقدارها فإننا نوضح هذه الحقيقة بأن نرمز للإزاحة بالحرف الثقيل: D. جمع المتجهات في الفيزياء. عليك إذن ان تتوخى الحذر في استعمال رموز المتجهات، فإذا كان الرمز مكتوباً بالحرف الثخين فإن هذا يعنى أنه يمثل كمية متجهة وان غليك الاهتمام بالاتجاه علاوة على المقدار.
ويمكن استخدام هذه الطريقة لجمع أيِّ عدد من المتجهات. هيا نلقِ نظرة على بعض الأمثلة. مثال ١: جمع متجهين بيانيًّا أيُّ المتجهات: ⃑ 𝑃 ، أو ⃑ 𝑄 ، أو ⃑ 𝑅 ، أو ⃑ 𝑆 ، أو ⃑ 𝑇 ؛ الموضَّحة في الشكل يساوي ⃑ 𝐴 + ⃑ 𝐵 ؟ الحل لنبدأ بإعادة رسم الشكل، مع تمييز المتجهين ⃑ 𝐴 و ⃑ 𝐵 وترك باقي المتجهات كما هي. يمكننا إيجاد حاصل جمع المتجهين ⃑ 𝐴 و ⃑ 𝐵 بيانيًّا عن طريق نقل المتجه ⃑ 𝐵 ؛ بحيث يقع «ذيل» السهم عند «رأس» السهم الذي يُمثِّل المتجه ⃑ 𝐴. ويوضِّح هذا الشكلُ التالي: إذن متجه المحصِّلة هو المتجه الذي يبدأ من ذيل المتجه ⃑ 𝐴 وينتهي عند رأس المتجه ⃑ 𝐵 ، وهو المتجه ⃑ 𝑄. مثال ٢: جمع ثلاثة متجهات بيانيًّا أيُّ المتجهات: ⃑ 𝑃 ، أو ⃑ 𝑄 ، أو ⃑ 𝑅 ، أو ⃑ 𝑆 ، أو ⃑ 𝑇 ؛ الموضَّحة في الشكل يساوي ⃑ 𝐴 + ⃑ 𝐵 + ⃑ 𝐶 ؟ الحل لنبدأ بإعادة رسم الشكل، مع تمييز المتجهات ⃑ 𝐴 و ⃑ 𝐵 و ⃑ 𝐶 وترك باقي المتجهات كما هي. جمع المتجهات. يمكننا إيجاد حاصل جمع المتجهات ⃑ 𝐴 و ⃑ 𝐵 و ⃑ 𝐶 بيانيًّا عن طريق نقل المتجهين ⃑ 𝐵 و ⃑ 𝐶 ؛ بحيث يقع «ذيل» كلِّ سهم عند «رأس» السهم السابق. ويوضِّح هذا الشكلُ التالي: متجه المحصِّلة هو المتجه الذي يبدأ من ذيل المتجه ⃑ 𝐴 وينتهي عند رأس المتجه ⃑ 𝐶 ، وهو المتجه ⃑ 𝑄.
بواسِطَةِ التّطبيق، تستطيعُونَ بناءَ متّجهاتٍ (على شكلِ أَسهُمٍ، وسيحسبُ التَّطبيقُ نفسُهُ متَّجهَ محصّلتها). لِفَهمِ طريقةِ الحساب بصورةٍ أفضل، مِنَ المفضَّلِ تعيينُ إمكانيّة الشّبكة ونوعها 1، 2 أو 3 بحسب ما يناسِبُكُم. النّوع 1 يعرِضُ مركّبي المتّجه مَعَ اتّجاههما الأَصلِيَّيْنِ، والنَّوع 2 يعرِضُ مركّبي المتّجه بحيثُ يكوِّنانِ مثلَّثًا قائِمَ الزّاوية، والمتّجه نفسُهُ هُوَ الوَتَر (وهكذا يمكن حِسابُ الزّاوية)، بينما يعرضُ النّوع 3 إِسقاطاتِ المركبّاتِ على المحاور. تذكَّرُوا! متّجه في اتّجاهٍ مُعاكِسٍ للمِحوَرِ، يحصُلُ على قيمةٍ سالبةٍ. كتاب تحليل المتجهات الفصل الاول مسائل محلولة. وبذلك، فإنَّ متَّجِهَيْنِ مُتساوِيَيْنِ في مقدارهما، ومتعاكِسَيْنِ في اتّجاهِهِما، يلغي أَحَدُهُما الآخَر. ماذا يحدُثُ، حسب رأيكم، إذا قُمتُم ببناءِ شكلٍ مغلق مِن متّجهات؟ لماذا حسب رأيكم؟
بهذا يكون لدينا حاصل جمع هذين المتجهين مكتوبًا على الصورة المركَّبة. مثال ٤: جمع متجهين مُعطيَين على الصورة المركَّبة لدينا المتجهان: ⃑ 𝐴 و ⃑ 𝐵. ⃑ 𝐴 = 3 ⃑ 𝑖 − 3 ⃑ 𝑗 و ⃑ 𝐵 = − 4 ⃑ 𝑖 + 9 ⃑ 𝑗. الحل لكي نوجد ⃑ 𝐴 + ⃑ 𝐵 علينا جمع مركِّبتَي 𝑥 للمتجهين معًا، ومركِّبتَي 𝑦 للمتجهين معًا. وعلينا تذكُّر وضع الإشارة السالبة أمام الأعداد أثناء إجراء الحسابات. نحصل من ذلك على: ⃑ 𝐴 + ⃑ 𝐵 = ( 3 + ( − 4)) ⃑ 𝑖 + ( ( − 3) + 9) ⃑ 𝑗 ⃑ 𝐴 + ⃑ 𝐵 = − 1 ⃑ 𝑖 + 6 ⃑ 𝑗. لدينا الآن حاصل جمع هذين المتجهين مكتوبًا على الصورة المركَّبة. يمكننا أيضًا الربط بين جمع متجهين بيانيًّا وجمعهما جبريًّا، كما في المثال التالي. مثال ٥: جمع متجهين ممثَّلين بيانيًّا وإيجاد الناتج على الصورة المركَّبة يوضِّح الشكل المتجهين: ⃑ 𝐴 ، ⃑ 𝐵. طول ضلع كلِّ مربع في شبكة الرسم يساوي 1. أوجد ⃑ 𝐴 + ⃑ 𝐵 في الصورة المركَّبة. الحل ثمة طريقتان لحلِّ هذه المسألة. تتمثَّل الطريقة الأولى في جمع المتجهين بيانيًّا، ثم إيجاد مركِّبات الناتج. يوضِّح الشكل التالي جمع المتجهين؛ حيث ننقل المتجه ⃑ 𝐵 بحيث يقع ذيله عند رأس المتجه ⃑ 𝐴. ويكون الناتج هو المتجه ⃑ 𝑉.